[14,6] CHAPITRE VI. Ἀπορήσειε δ᾽ ἄν τις καὶ τί τὸ εὖ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῶν ἀριθμῶν τῷ ἐν ἀριθμῷ εἶναι τὴν μῖξιν, ἢ ἐν εὐλογίστῳ ἢ ἐν περιττῷ. Νυνὶ γὰρ οὐθὲν ὑγιεινότερον τρὶς τρία ἂν ᾖ τὸ (29) μελίκρατον κεκραμένον, ἀλλὰ μᾶλλον ὠφελήσειεν ἂν ἐν (30) οὐθενὶ λόγῳ ὂν ὑδαρὲς δὲ ἢ ἐν ἀριθμῷ ἄκρατον ὄν. Ἔτι οἱ λόγοι ἐν προσθέσει ἀριθμῶν εἰσὶν οἱ τῶν μίξεων, οὐκ ἐν ἀριθμοῖς, οἷον τρία πρὸς δύο ἀλλ᾽ οὐ τρὶς δύο. Τὸ γὰρ αὐτὸ δεῖ γένος εἶναι ἐν ταῖς πολλαπλασιώσεσιν, ὥστε δεῖ μετρεῖσθαι τῷ τε Α τὸν στοῖχον ἐφ᾽ οὗ ΑΒΓ καὶ τῷ Δ τὸν (35) ΔΕΖ· ὥστε τῷ αὐτῷ πάντα. Οὔκουν ἔσται πυρὸς ΒΕΓΖ καὶ ὕδατος ἀριθμὸς δὶς τρία. (1093a) (1) —Εἰ δ᾽ ἀνάγκη πάντα ἀριθμοῦ κοινωνεῖν, ἀνάγκη πολλὰ συμβαίνειν τὰ αὐτά, καὶ ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν τῷδε καὶ ἄλλῳ. Ἆρ᾽ οὖν τοῦτ᾽ αἴτιον καὶ διὰ τοῦτό ἐστι τὸ πρᾶγμα, ἢ ἄδηλον; οἷον ἔστι τις τῶν τοῦ ἡλίου (5) φορῶν ἀριθμός, καὶ πάλιν τῶν τῆς σελήνης, καὶ τῶν ζῴων γε ἑκάστου τοῦ βίου καὶ ἡλικίας· τί οὖν κωλύει ἐνίους μὲν τούτων τετραγώνους εἶναι ἐνίους δὲ κύβους, καὶ ἴσους τοὺς δὲ διπλασίους; οὐθὲν γὰρ κωλύει, ἀλλ᾽ ἀνάγκη ἐν τούτοις στρέφεσθαι, εἰ ἀριθμοῦ πάντα ἐκοινώνει. Ἐνεδέχετό τε τὰ (10) διαφέροντα ὑπὸ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν πίπτειν· ὥστ᾽ εἴ τισιν ὁ αὐτὸς ἀριθμὸς συνεβεβήκει, ταὐτὰ ἂν ἦν ἀλλήλοις ἐκεῖνα τὸ αὐτὸ εἶδος ἀριθμοῦ ἔχοντα, οἷον ἥλιος καὶ σελήνη τὰ αὐτά. Ἀλλὰ διὰ τί αἴτια ταῦτα; ἑπτὰ μὲν φωνήεντα, ἑπτὰ δὲ χορδαὶ ἡ ἁρμονία, ἑπτὰ δὲ αἱ πλειάδες, ἐν ἑπτὰ (15) δὲ ὀδόντας βάλλει (ἔνιά γε, ἔνια δ᾽ οὔ ) , ἑπτὰ δὲ οἱ ἐπὶ Θήβας. Ἆρ᾽ οὖν ὅτι τοιοσδὶ ὁ ἀριθμὸς πέφυκεν, διὰ τοῦτο ἢ ἐκεῖνοι ἐγένοντο ἑπτὰ ἢ ἡ πλειὰς ἑπτὰ ἀστέρων ἐστίν; ἢ οἱ μὲν διὰ τὰς πύλας ἢ ἄλλην τινὰ αἰτίαν, τὴν δὲ ἡμεῖς οὕτως ἀριθμοῦμεν, τὴν δὲ ἄρκτον γε δώδεκα, οἱ δὲ πλείους· (20) ἐπεὶ καὶ τὸ ΞΨΖ συμφωνίας φασὶν εἶναι, καὶ ὅτι ἐκεῖναι τρεῖς, καὶ ταῦτα τρία· ὅτι δὲ μυρία ἂν εἴη τοιαῦτα, οὐθὲν μέλει (τῷ γὰρ Γ καὶ Ρ εἴη ἂν ἓν σημεῖον ) · εἰ δ᾽ ὅτι διπλάσιον τῶν ἄλλων ἕκαστον, ἄλλο δ᾽ οὔ, αἴτιον δ᾽ ὅτι τριῶν ὄντων τόπων ἓν ἐφ᾽ ἑκάστου ἐπιφέρεται τῷ σίγμα, διὰ τοῦτο (25) τρία μόνον ἐστὶν ἀλλ᾽ οὐχ ὅτι αἱ συμφωνίαι τρεῖς, ἐπεὶ πλείους γε αἱ συμφωνίαι, ἐνταῦθα δ᾽ οὐκέτι δύναται. Ὅμοιοι δὴ καὶ οὗτοι τοῖς ἀρχαίοις Ὁμηρικοῖς, οἳ μικρὰς ὁμοιότητας ὁρῶσι μεγάλας δὲ παρορῶσιν. Λέγουσι δέ τινες ὅτι πολλὰ τοιαῦτα, οἷον αἵ τε μέσαι ἡ μὲν ἐννέα ἡ δὲ ὀκτώ, (30) καὶ τὸ ἔπος δεκαεπτά, ἰσάριθμον τούτοις, βαίνεται δ᾽ ἐν μὲν τῷ δεξιῷ ἐννέα συλλαβαῖς, ἐν δὲ τῷ ἀριστερῷ ὀκτώ· (1093b) (1) καὶ ὅτι ἴσον τὸ διάστημα ἔν τε τοῖς γράμμασιν ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸ Ω, καὶ ἀπὸ τοῦ βόμβυκος ἐπὶ τὴν ὀξυτάτην (νεάτην) ἐν αὐλοῖς, ἧς ὁ ἀριθμὸς ἴσος τῇ οὐλομελείᾳ τοῦ οὐρανοῦ. (5) Ὁρᾶν δὲ δεῖ μὴ τοιαῦτα οὐθεὶς ἂν ἀπορήσειεν οὔτε λέγειν οὔθ᾽ εὑρίσκειν ἐν τοῖς ἀϊδίοις, ἐπεὶ καὶ ἐν τοῖς φθαρτοῖς. Ἀλλ᾽ αἱ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσεις αἱ ἐπαινούμεναι καὶ τὰ τούτοις ἐναντία καὶ ὅλως τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν, ὡς μὲν λέγουσί τινες καὶ αἴτια ποιοῦσι τῆς φύσεως, ἔοικεν οὑτωσί (10) γε σκοπουμένοις διαφεύγειν (κατ᾽ οὐδένα γὰρ τρόπον τῶν διωρισμένων περὶ τὰς ἀρχὰς οὐδὲν αὐτῶν αἴτιον ) · ἔστιν ὡς μέντοι ποιοῦσι φανερὸν ὅτι τὸ εὖ ὑπάρχει καὶ τῆς συστοιχίας ἐστὶ τῆς τοῦ καλοῦ τὸ περιττόν, τὸ εὐθύ, τὸ ἰσάκις ἴσον, αἱ δυνάμεις ἐνίων ἀριθμῶν· ἅμα γὰρ ὧραι καὶ ἀριθμὸς τοιοσδί· (15) καὶ τὰ ἄλλα δὴ ὅσα συνάγουσιν ἐκ τῶν μαθηματικῶν θεωρημάτων πάντα ταύτην ἔχει τὴν δύναμιν. Διὸ καὶ ἔοικε συμπτώμασιν· ἔστι γὰρ συμβεβηκότα μέν, ἀλλ᾽ οἰκεῖα ἀλλήλοις πάντα, ἓν δὲ τῷ ἀνάλογον· ἐν ἑκάστῃ γὰρ τοῦ ὄντος κατηγορίᾳ ἐστὶ τὸ ἀνάλογον, ὡς εὐθὺ ἐν μήκει οὕτως (20) ἐν πλάτει τὸ ὁμαλόν, ἴσως ἐν ἀριθμῷ τὸ περιττόν, ἐν δὲ χροιᾷ τὸ λευκόν. Ἔτι οὐχ οἱ ἐν τοῖς εἴδεσιν ἀριθμοὶ αἴτιοι τῶν ἁρμονικῶν καὶ τῶν τοιούτων (διαφέρουσι γὰρ ἐκεῖνοι ἀλλήλων οἱ ἴσοι εἴδει· καὶ γὰρ αἱ μονάδες ) · ὥστε διά γε ταῦτα εἴδη οὐ ποιητέον. Τὰ μὲν οὖν συμβαίνοντα ταῦτά (25) τε κἂν ἔτι πλείω συναχθείη· ἔοικε δὲ τεκμήριον εἶναι τὸ πολλὰ κακοπαθεῖν περὶ τὴν γένεσιν αὐτῶν καὶ μηδένα τρόπον δύνασθαι συνεῖραι τοῦ μὴ χωριστὰ εἶναι τὰ μαθηματικὰ τῶν αἰσθητῶν, ὡς ἔνιοι λέγουσι, μηδὲ ταύτας εἶναι τὰς ἀρχάς.

[14,6] CHAPITRE VI. Une difficulté qu'on pourrait soulever encore, c'est de savoir quelle sorte de bien résulte des nombres, soit dans le cas où le nombre qui préside au mélange est pair, soit quand il est impair. On ne voit pas que l'hydromel en valût mieux pour la santé , s'il était un mélange réglé par la multiplication de trois par trois. Il sera meilleur, au contraire, si ce rapport ne se trouve pas entre ses parties, si la quantité d'eau l'emporte : supposez le rapport numérique en question, le mélange ne se fait plus. D'ailleurs les rapports qui règlent 316 les mélanges consistent en une addition de nombres différents, et non en une multiplication de nombres entre eux : c'est trois qu'on ajoute à deux, ce n'est pas deux qu'on multiplie par trois. Dans les multiplications , les objets doivent appartenir au même genre : il faut que la classe des êtres qui sont le produit des facteurs un, deux et trois, ait un pour mesure ; que ceux-là soient mesurés par quatre, qui proviennent des facteurs quatre, cinq et six. Il faut donc que tous les êtres qui entrent dans la multiplication aient une commune mesure. Dans la supposition, le nombre du feu pourrait donc être le produit des facteurs deux, cinq, trois et six, et celui de l'eau le produit de trois multiplié par deux. (1093a) Ajoutons que si tout participe nécessairement du nombre, il est nécessaire que beaucoup d'êtres deviennent identiques, et que le même nombre serve à la fois à plusieurs êtres. Les nombres peuvent-ils donc être des causes? Est-ce le nombre qui détermine l'existence de l'objet, ou bien plutôt la cause est-elle voilée à nos regards? Le soleil a un certain nombre de mouvements, la lune aussi; et, comme eux, la vie et le développement de chaque animal. Qui empêche donc que, parmi ces nombres, il y en ait de carrés, de cubes, d'autres qui soient égaux ou doubles ? Il n'y a nul obstacle. Il faut alors que les êtres, de toute nécessité, soient tous marqués de quelques-uns de ces caractères, si tout participe du nombre ; et, des êtres différents seront susceptibles de tomber sous le même nombre. Et si le même nombre se trouve commun à plusieurs êtres, ces êtres, qui ont la même espèce de 317 nombre, seront identiques les uns aux autres ; il y aura identité entre le soleil et la lune. Mais pourquoi les nombres sont-ils des causes ? Il y a sept voyelles, sept cordes à la lyre, sept accords ; les pléiades sont au nombre de sept; c'est dans les sept premières années que les animaux, sauf les exceptions, perdent leurs premières dents ; les chefs étaient sept devant Thèbes. Est-ce donc parce que le nombre sept est sept, que les chefs se sont trouvés sept, et que la Pléiade se compose de sept étoiles ; ou bien serait-ce, pour les chefs, à cause du nombre des portes de Thèbes, ou pour une autre raison? Tel est le nombre d'étoiles que nous attribuons à la Pléiade ; mais nous n'en comptons bien que douze dans l'Ourse , tandis que quelques-uns y en distinguent davantage. Il en est qui disent que le xi, le psi et le dzêta sont des sons doubles, et que, comme il y a trois accords, c'est pour cela qu'il y a trois lettres doubles ; mais, dans cette hypothèse, il y aurait une grande quantité de lettres doubles. On ne fait pas attention à cette conséquence; on ne veut pas voir qu'alors un seul signe devrait représenter l'union du gamma et du rhô. On dira, sans doute, que dans le premier cas la lettre composée est le double de chacun des éléments qui la composent, ce qui ne se remontre point ailleurs. Pour nous, nous répondrons qu'il n'y a que trois dispositions de l'organe de la voix propres à l'émission du sigma après la première consonne de la syllabe. Telle est la raison unique pour laquelle il 319 n'y a que trois lettres doubles, et non pas parce qu'il y aurait trois accords ; car il y a plus de trois accords, tandis qu'il ne peut y avoir plus de trois lettres doubles. Les philosophes dont nous parlons sont comme les anciens interprètes de Homère, lesquels aperçoivent les petites ressemblances et négligent les grandes. Voici quelques-unes des observations de ces derniers: Les cordes intermédiaires sont, l'une comme neuf, l'autre comme huit : aussi le vers héroïque est-il comme dix-sept, nombre qui est la somme de ces deux nombres ; il s'appuie à droite sur neuf, à gauche sur huit syllabes. — (1093b) II y a la même distance entre l'alpha et l'oméga qu'entre le grand trou de la flûte, celui qui donne la note la plus grave, et le petit trou, celui qui donne la plus aiguë ; et le même nombre est celui qui constitue l'harmonie complète du ciel. On doit se garder d'aller s'embarrasser de pareilles minuties. Ce sont-là des rapports qu'il ne faut donc ni chercher ni trouver dans les êtres éternels, puisqu'il ne le faut même pas dans les êtres périssables. En un mot, nous voyons s'évanouir devant notre examen les caractères dont firent honneur, et à ces natures qui, parmi les nombres, appartiennent à la 319 classe du bien, et à leurs contraires, aux êtres mathématiques enfin, les philosophes qui en font les causes de l'univers : nul être mathématique n'est cause dans aucun des sens que nous avons déterminés en parlant des principes. Toutefois ce sont eux qui nous révèlent le bien qui réside dans les choses, et c'est à la classe du beau qu'appartiennent l'impair, le droit, l'égal, et certaines puissances des nombres. Il y a parité numérique entre les saisons de l'année et tel nombre déterminé ; mais rien de plus. C'est à cela qu'il faut réduire toutes ces conséquences qu'on veut tirer des observations mathématiques. Les rapports en question ressemblent fort à des coïncidences fortuites: ce sont des accidents , mais ces accidents appartiennent également à deux genres d'êtres; ils ont une unité, l'analogie. Car dans chaque catégorie il y a l'analogue : de même que dans la longueur l'analogue est le droit, de même c'est le niveau dans la largeur; dans le nombre c'est probablement l'impair; dans la couleur, le blanc. Disons encore que les nombres idéaux ne peuvent pas non plus être les causes des accords de la musique : bien qu'égaux sous le rapport de l'espèce, ils différent entre eux, car les monades diffèrent entre elles. Il s'ensuit alors qu'on ne saurait admettre des idées. Telles sont les conséquences de ces doctrines. On pourrait accumuler contre elles plus d'objections encore. Du reste, les misérables embarras où l'on s'engage pour montrer comment les nombres produisent, et 320 l'impossibilité absolue de répondre à toutes les objections, sont une preuve convaincante que les êtres mathématiques n'existent pas, comme quelques-uns le prétendent, séparés des objets sensibles, et que ces êtres ne sont pas les principes des choses.