[12] XII. (206) Δεδειγμένου δ´ ὅτι ὁ Πλάτων οὔτ´ ἀγνοίᾳ οὔτ´ ἀπειρίᾳ τὰ ἄλλα παρῃτήσατο, ἀλλ´ ὡς οὐ πρέποντα τῇ τοιαύτῃ πολιτείᾳ, δείξομεν ἑξῆς ὅτι ἔμπειρος ἁρμονίας ἦν. (207) Ἐν γοῦν τῇ ψυχογονίᾳ τῇ ἐν τῷ Τιμαίῳ τήν τε περὶ τὰ μαθήματα καὶ μουσικὴν σπουδὴν ἐπεδείξατο ὧδέ πως· (208) « Καὶ μετὰ ταῦτα συνεπλήρου τά τε διπλάσια καὶ τὰ τριπλάσια διαστήματα, μοίρας τ´ ἐκεῖθεν ἀποτέμνων καὶ τιθεὶς εἰς τὸ μεταξὺ τούτων, ὥστ´ ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας. » (209) Ἁρμονικῆς γὰρ ἦν ἐμπειρίας τοῦτο τὸ προοίμιον, ὡς αὐτίκα δείξομεν. (210) Τρεῖς εἰσι μεσότητες αἱ πρῶται, ἀφ´ ὧν λαμβάνεται πᾶσα μεσότης, ἀριθμητική, ἁρμονική, γεωμετρική. (211) Τούτων ἡ μὲν ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ἡ δ´ ἴσῳ λόγῳ, ἡ δ´ οὔτε λόγῳ οὔτ´ ἀριθμῷ. (212) Ὁ τοίνυν Πλάτων τὴν ψυχικὴν ἁρμονίαν τῶν τεσσάρων στοιχείων καὶ τὴν αἰτίαν τῆς πρὸς ἄλληλα ἐξ ἀνομοίων συμφωνίας δεῖξαι ἁρμονικῶς βουληθείς, ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο μεσότητας ψυχικὰς ἀπέφηνε κατὰ τὸν μουσικὸν λόγον. (213) Τῆς γὰρ διὰ πασῶν ἐν μουσικῇ συμφωνίας δύο διαστήματα μέσα εἶναι συμβέβηκεν, ὧν τὴν ἀναλογίαν δείξομεν. (214) Ἡ μὲν γὰρ διὰ πασῶν ἐν διπλασίονι λόγῳ θεωρεῖται· ποιήσει δ´ εἰκόνος χάριν τὸν διπλάσιον λόγον κατ´ ἀριθμὸν τὰ ἓξ καὶ τὰ δώδεκα· ἔστι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα ἀφ´ ὑπάτης μέσων ἐπὶ νήτην διεζευγμένων. (215) Ὄντων οὖν τῶν ἓξ καὶ τῶν δώδεκα ἄκρων, ἔχει ἡ μὲν ὑπάτη μέσων τὸν τῶν ἓξ ἀριθμόν, ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων τὸν τῶν δώδεκα. (216) Λαβεῖν δὴ λοιπὸν χρὴ πρὸς τούτοις ἀριθμοὺς τοὺς μεταξὺ πίπτοντας, ὧν οἱ ἄκροι ὁ μὲν ἐπίτριτος, ὁ δ´ ἡμιόλιος φανήσεται· (217) εἰσὶ δ´ ὁ τῶν ὀκτὼ καὶ τῶν ἐννέα· (218) τῶν γὰρ ἓξ τὰ μὲν ὀκτὼ ἐπίτριτα, τὰ δ´ ἐννέα ἡμιόλια. Τὸ μὲν ἓν ἄκρον τοιοῦτο, τὸ δ´ ἄλλο τὸ τῶν δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐπίτριτα, τῶν δ´ ὀκτὼ ἡμιόλια. (219) Τούτων οὖν τῶν ἀριθμῶν ὄντων μεταξὺ τῶν ἓξ καὶ τῶν δώδεκα, καὶ τοῦ διὰ πασῶν διαστήματος ἐκ τοῦ διὰ τεττάρων καὶ τοῦ διὰ πέντε συνεστῶτος, δῆλον ὅτι ἕξει ἡ μὲν μέση τὸν τῶν ὀκτὼ ἀριθμόν, ἡ δὲ παραμέση τὸν τῶν ἐννέα. (220) Τούτου γενομένου, ἕξει ἡ ὑπάτη πρὸς μέσην ὡς παραμέση πρὸς νήτην διεζευγμένων· ἀπὸ γὰρ ὑπάτης μέσων διὰ τεττάρων ἐπὶ μέσην, (221) ἀπὸ δὲ παραμέσης ἐπὶ νήτην διεζευγμένων διὰ τεττάρων· δῆλον δ´ ὅτι καὶ ἀπὸ ὑπάτης μέσων ἐπὶ νήτην διεζευγμένων διὰ πασῶν. (222) Ἡ αὐτὴ δ´ ἀναλογία καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν εὑρίσκεται· (223) ὡς γὰρ ἔχει τὰ ἓξ πρὸς τὰ ὀκτώ, οὕτως τὰ ἐννέα πρὸς τὰ δώδεκα· καὶ ὡς ἔχει τὰ ἓξ πρὸς τὰ ἐννέα, οὕτως τὰ ὀκτὼ πρὸς τὰ δώδεκα· (224) ἐπίτριτα γὰρ τὰ μὲν ὀκτὼ τῶν ἕξ, τὰ δὲ δώδεκα τῶν ἐννέα, ἡμιόλιά τε τὰ μὲν ἐννέα τῶν ἕξ, τὰ δὲ δώδεκα τῶν ὀκτώ. (225) Ἀρκέσει τὰ εἰρημένα εἰς τὸ ἐπιδεδειχέναι, ἣν εἶχε περὶ τὰ μαθή ματα σπουδὴν καὶ ἐμπειρίαν Πλάτων.

[12] XII. — Connaissances harmoniques de Platon. «Après avoir montré que ce n'est ni par ignorance ni par inexpérience que Platon a rejeté tous les autres modes, mais bien parce qu’il les jugeait peu convenables au genre de gouvernement qu'il avait en vue, je vais faire voir qu'il était versé dans la science harmonique. Dans la «Création de l'âme» du Timée, voici comment il montre qu'il avait étudié les mathématiques et la musique. «Après cela, «dit-il, (le démiurge) remplit les intervalles doubles et triples, en découpant dans la masse certaines parties qu'il inséra au milieu de ces intervalles, de telle sorte que «dans chaque intervalle il y eût deux termes moyens.» Ce préambule atteste son expérience de l'harmonie, comme je vais le montrer immédiatement. «Il y a trois moyennes primordiales, d'où dérivent toutes les autres : l'arithmétique, la géométrique, l'harmonique. La première surpasse et est surpassée d'un nombre égal, la seconde d'un rapport égal, la troisième n'est équidistante ni par le nombre ni par le rapport. Platon donc, voulant démontrer par les principes de l'harmonie l'accord des quatre éléments et la raison du concert mutuel qui existe entre ces composants si différents, a placé dans chacun de ses intervalles deux moyennes psychiques, conformément à la proportion musicale. En effet, la consonance d'octave, en musique, embrasse deux intervalles moyens, dont je vais montrer la proportion. L'octave représente un rapport double, tel, par exemple, que celui de 6 à 12 : c'est l'intervalle formé par l'hypate des moyennes (Mi 1) et la nète des disjointes (Mi 2). Ainsi, 6 et 12 étant les termes extrêmes, l'hypate des moyennes aura le nombre 6, la nète des disjointes le nombre 12. Il reste à prendre deux nombres intermédiaires tels que les nombres extrêmes soient avec eux l'un en raison sesquitierce (4/3), l'autre en raison sesquialtère (3/2). Ces nombres sont 8 et 9 ; car 8 est sesquitiers de 6, 9 en est sesquialtère — voilà pour un des extrêmes ; l'autre terme extrême, 12, est sesquitiers de 9, sesquialtère de 8. Ces deux nombres tombant donc entre 6 et 12, et l'intervalle d'octave se composant de la quarte et de la quinte, il est clair que la mèse (La) aura pour expression numérique 8, et la paramèse (Si) 9. Ceci posé, l'hypate sera à la mèse comme la paramèse à la nète des disjointes. Car d'abord, de l'hypate des moyennes (Mi 1) à la mèse (La) il y a un intervalle de quarte, comme entre la paramèse (Si) et la nète des disjointes (Mi 2). La même relation se trouve entre les nombres : car 6 est à 8 comme 9 est à 12, et encore 6 est à 9 comme 8 est à 12, puisque 8 et 12 sont respectivement sesquitiers de 6 et 9, tandis que 9 et 12 sont sesquialtères de 6 et de 8. «Ce que je viens de dire suffira pour démontrer quel zèle et quelle expérience Platon avait apportés dans l'étude des mathématiques.