[1020] (1020a) Δεῖ δ´ αὐτὰς ἐκεῖ | παρεντάξαι καὶ ἀναπληρῶσαι τὰ διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα. Τῶν δ´ ἐκκειμένων ἀριθμῶν οἱ μὲν οὐδ´ ὅλως μεταξὺ χώραν ἔχουσιν οἱ δ´ οὐχ ἱκανήν· αὔξοντες οὖν αὐτούς, τῶν αὐτῶν λόγων διαμενόντων, ὑποδοχὰς ποιοῦσιν ἀρκούσας ταῖς εἰρημέναις μεσότησι. Καὶ πρῶτον μὲν ἐλάχιστον ἀντὶ τοῦ ἑνὸς τὰ ἓξ θέντες, ἐπεὶ πρῶτος ἥμισύ τε καὶ τρίτον ἔχει μέρος, ἅπαντας ἑξαπλασίους τοὺς ὑποτεταγμένους ἐποίησαν, ὡς ὑπογέγραπται, δεχομένους τὰς μεσότητας ἀμφοτέρας καὶ τοῖς διπλασίοις διαστήμασι καὶ τοῖς τριπλασίοις. Εἰρηκότος δὲ τοῦ Πλάτωνος « Ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων, (1020b) ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσι τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο, λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον, τῆς δὲ τοῦ μορίου ταύτης διαστάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους Ϛʹ καὶ νʹ καὶ ςʹ πρὸς γʹ καὶ μʹ καὶ ςʹ », διὰ ταύτην τὴν λέξιν ἠναγκάζοντο πάλιν τοὺς ἀριθμοὺς ἐπανάγειν καὶ μείζονας ποιεῖν. Ἔδει μὲν γὰρ ἐφεξῆς ἐπόγδοα γίγνεσθαι δύο· τῆς δ´ ἑξάδος οὔτ´ αὐτόθεν ἐπόγδοον ἐχούσης, εἴ τε τέμνοιτο, κερματιζομένων ἰς μόρια τῶν μονάδων δυσθεωρήτου τῆς μαθήσεως ἐσομένης, αὐτὸ τὸ πρᾶγμα τὸν πολλαπλασιασμὸν ὑπηγόρευσεν, (1020c) ὥσπερ ἐν ἁρμονικῇ μεταβολῇ τοῦ διαγράμματος ὅλου συνεπιτεινομένου τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμῶν. Ὁ μὲν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθήσας Κράντορι πρῶτον ἔλαβε τὸν τπδʹ, ὃς γίγνεται τοῦ ἓξ ἐπὶ τὰ ξδʹ πολλαπλασιασθέντος· ἐπηγάγετο δ´ αὐτοὺς ὁ τῶν ξδʹ ἀριθμὸς ἐπόγδοον ἔχων τὸν οβʹ. Τοῖς δ´ ὑπὸ τοῦ Πλάτωνος λεγομένοις συμφωνότερόν ἐστιν ὑποθέσθαι τὸ ἥμισυ· τούτου γὰρ τὸ λεῖμμα τὸ τῶν ἐπογδόων ἕξει λόγον ἐν ἀριθμοῖς, οὓς ὁ Πλάτων εἴρηκεν Ϛʹ καὶ νʹ καὶ ςʹ πρὸς τρία καὶ μʹ καὶ ςʹ, τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πρώτων τιθεμένων. (1020d) Ἂν δ´ ὁ τούτου διπλάσιος τεθῇ πρῶτος, ἔσται τὸ λεῖμμα λόγον μὲν ἔχον τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν δὲ τὸν διπλάσιον, ὃν ἔχει τὰ φιβʹ πρὸς υπϚʹ· γίγνεται γὰρ ἐπίτριτα τῶν μὲν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τὰ σνϚʹ, τῶν δὲ τπδʹ τὰ φιβʹ. Καὶ οὐκ ἄλογος ἡ ἐπὶ τοῦτον ἀναγωγὴ τὸν ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ τοῖς περὶ τὸν Κράντορα παρασχοῦσα τὸ εὔλογον· τὰ γὰρ ξδʹ καὶ κύβος ἐστὶν ἀπὸ πρώτου τετραγώνου καὶ τετράγωνος ἀπὸ πρώτου κύβου· γενόμενος δ´ ἐπὶ τὸν γʹ, πρῶτον ὄντα περισσὸν καὶ πρῶτον τρίγωνον καὶ πρῶτον τέλειον ὄντα καὶ ἡμιόλιον, ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πεποίηκεν, ἔχοντα καὶ αὐτὸν ἐπόγδοον, ὡς δείξομεν. (1020e) Πρότερον δὲ τί τὸ λεῖμμά ἐστι καὶ τίς ἡ διάνοια τοῦ Πλάτωνος, μᾶλλον κατόψεσθε τῶν εἰωθότων ἐν ταῖς Πυθαγορικαῖς σχολαῖς λέγεσθαι βραχέως ὑπομνησθέντες. Ἔστι γὰρ διάστημα ἐν μελῳδίᾳ πᾶν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δυεῖν φθόγγων ἀνομοίων τῇ τάσει· τῶν δὲ διαστημάτων ἓν ὁ καλούμενος τόνος, ᾧ τὸ διὰ πέντε μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τεσσάρων. Τοῦτον οἱ μὲν ἁρμονικοὶ δίχα τεμνόμενον οἴονται δύο διαστήματα ποιεῖν, ὧν ἑκάτερον ἡμιτόνιον καλοῦσιν· οἱ δὲ Πυθαγορικοὶ τὴν μὲν εἰς ἴσα τομὴν ἀπέγνωσαν (1020f) αὐτοῦ, τῶν δὲ τμημάτων ἀνίσων ὄντων λεῖμμα τὸ ἔλαττον ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῦ ἡμίσεος ἀπολείπει. Διὸ καὶ τῶν συμφωνιῶν τὴν διὰ τεσσάρων οἱ μὲν δυεῖν τόνων καὶ ἡμιτονίου ποιοῦσιν οἱ δὲ δυεῖν καὶ λείμματος. Μαρτυρεῖν δὲ δοκεῖ τοῖς μὲν ἁρμονικοῖς ἡ αἴσθησις τοῖς δὲ μαθηματικοῖς ἡ ἀπόδειξις, ἧς τοιοῦτος ὁ τρόπος ἐστίν· ἐλήφθη διὰ τῶν ὀργάνων θεωρηθέν, ὅτι τὸ μὲν διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει, τὸ δὲ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον,

[1020] (1020a) Mais il faut les placer et les insérer dans les nombres de manière qu'elles remplissent les intervalles doubles et les triples. Or, entre ces nombres, les uns n'ont aucun espace moyen, et celui des autres n'est pas suffisant. On les augmente donc en conservant toujours la même proportion, en sorte qu'ils aient des intervalles assez grands pour recevoir ces médiétetés. Et premièrement, au lieu de l'unité pour le moindre terme, on prend 6, parce que c'est le premier nombre qui se divise en moitié et en tiers ; on multiplie tous les nombres qui suivent par 6, afin de recevoir les médiétetés dans les intervalles doubles et triples, comme on le voit par l'exemple suivant. Platon dit dans son Timée : «Les intervalles étant sesqui-altères, sesqui-tierces et sesqui-octaves, des liaisons (1020b) que Dieu avait faites dans les intervalles précédents, il remplit tous les intervalles triples par l'intervalle sesqui-octave, laissant une portion de chacun; et l'intervalle de cette portion laissée, pris de nombre à nombre, a pour termes 256 et 243.» Ces paroles de Platon les ont obligés de donner encore plus d'étendue à ces nombres ; car il en fallait deux qui fussent en proportion sesqui-octave ; or, le nombre 6 ne pouvait donner cette proportion par lui-même, et, divisé en plusieurs fractions d'unité, il en aurait rendu l'explication beaucoup plus difficile. Il fut donc nécessaire d'avoir recours à la multiplication, (1020c) comme dans les muances de la musique, si on étend le premier nombre, il faut augmenter dans la même proportion toute la progression des notes. Eudorus donc, à l'exemple de Crantor, a pris pour premier nombre 384, produit de 64 multiplié par 6 ; ce qui les a déterminés à le prendre, c'est que le nombre 64 a pour sesqui-octave 8 dans la proportion de 72. Mais il est plus conforme au texte de Platon de ne prendre que la moitié du premier nombre 384, c'est-à-dire 192, car alors le limma sera en proportion sesqui-octave avec les nombres 236 et 243 supposés par Platon. (1020d) Et si l'on prend pour premier nombre le double de 192, le limma conservera la même proportion, mais dans un nombre double, et ce sera comme de 512 à 484. Car 256 est en proportion sesqui-tierce avec 192, comme 512 avec 484. La réduction à ce nombre n'est pas destituée de raison et elle appuie l'opinion de Crantor; car 64 est le cube du premier carré et le carré du premier cube. Multiplié par 5, premier nombre impair, premier nombre triangulaire, premier parfait et premier sesqui-altère, il donne pour produit 192, qui a aussi son sesqui-octave, comme nous le montrerons. (1020e) Mais d'abord vous comprendrez mieux ce que c'est que le limma, et quelle est la pensée de Platon, si vous voulez simplement vous rappeler ce qu'on a coutume de dire dans les écoles des pythagoriciens. Car intervalle, en matière de chant, est tout espace compris entre deux sons qui diffèrent d'étendue. De ces intervalles, l'un s'appelle ton, et c'est l'excès de la quinte sur la quarte. De ce ton divisé en deux, il se fait, suivant les musiciens, deux intervalles chacun d'un demi-ton. Mais les pythagoriciens, qui ne croient pas qu'il soit possible de le diviser également, (1020f) donnent à la plus petite des sections inégales dans lesquelles on le divise le nom de limma, parce qu'il est moindre que le demi-ton. C'est pourquoi les uns forment l'accord de la quarte de deux tons et demi, et d'autres le font de deux tons et du limma. En cela les musiciens semblent s'en rapporter à l'oreille, et les mathématiciens à la démonstration ; voici comment elle se fait. C'est une observation vérifiée par les instruments que l'octave est en proportion double, la quinte en proportion sesqui-altère, la quarte en proportion sesqui-tierce,