[1019] (1019a) ὁ δὲ περιττὸς τὸν τεσσαράκοντα κατὰ σύνθεσιν μὲν ἐκ τῶν δεκατριῶν καὶ τῶν κζʹ γεννώμενον, οἷς τὰ μελῳδούμενα μετροῦσιν εὐσήμως οἱ μαθηματικοὶ διαστήματα, τὸ μὲν δίεσιν τὸ δὲ τόνον καλοῦντες· κατὰ τὸν πολλαπλασιασμὸν δὲ τῇ τῆς τετρακτύος δυνάμει γιγνόμενον· τῶν γὰρ πρώτων τεσσάρων καθ´ αὑτὸν ἑκάστου τετράκις λαμβανομένου γίγνεται τέσσαρα καὶ ηʹ καὶ ιβʹ καὶ ιϚʹ· ταῦτα τὸν μʹ συντίθησι, περιέχοντα τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους· τὰ μὲν γὰρ ιϚʹ ἐπίτριτα τῶν δεκαδύο ἐστὶν τῶν δ´ ὀκτὼ διπλάσια, τῶν δὲ τεσσάρων τετραπλάσια· (1019b) τὰ δὲ ιβʹ τῶν ὀκτὼ ἡμιόλια, τῶν δὲ τεσσάρων τριπλάσια· οὗτοι δ´ οἱ λόγοι τὸ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν περιέχουσιν. Ἴσος γε μήν ἐστιν ὁ τῶν τεσσαράκοντα δυσὶ τετραγώνοις καὶ δυσὶ κύβοις ὁμοῦ λαμβανομένοις· τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ κζʹ κύβοι καὶ τετράγωνοι μʹ γίγνονται συντεθέντες. Ὥστε πολὺ τῆς Πυθαγορικῆς τὴν Πλατωνικὴν τετρακτὺν ποικιλωτέραν εἶναι τῇ διαθέσει καὶ τελειοτέραν. Ἀλλὰ ταῖς εἰσαγομέναις μεσότησι τῶν ὑποκειμένων ἀριθμῶν χώρας οὐ διδόντων, ἐδέησε μείζονας ὅρους (1019c) λαβεῖν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις· καὶ λεκτέον τίνες εἰσὶν οὗτοι. Πρότερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων· ὧν τὴν μὲν ἴσῳ κατ´ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν ἴσῳ δ´ ὑπερεχομένην ἀριθμητικὴν οἱ νῦν καλοῦσι, τὴν δὲ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην ὑπεναντίαν. Ὅροι δ´ εἰσὶ τῆς μὲν ἀριθμητικῆς Ϛʹ καὶ θʹ καὶ ιβʹ, τὰ γὰρ ἐννέα τῷ ἴσῳ κατ´ ἀριθμὸν τῶν ἓξ ὑπερέχει καὶ τῶν ιβʹ λείπεται· τῆς δ´ ὑπεναντίας Ϛʹ ηʹ ιβʹ, τὰ γὰρ ὀκτὼ δυσὶ μὲν τῶν Ϛʹ ὑπερέχει τέτταρσι δὲ τῶν ιβʹ λείπεται, ὧν τὰ μὲν δύο τῶν ἓξ τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δώδεκα τριτημόριόν ἐστι. Συμβέβηκεν οὖν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ταὐτῷ μέρει τὸ (1019d) μέσον ὑπερέχεσθαι καὶ ὑπερέχειν, ἐν δὲ τῇ ὑπεναντίᾳ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ἀποδεῖν τὸ δ´ ὑπερβάλλειν· ἐκεῖ μὲν γὰρ τὰ τρία τοῦ μέσου τρίτον ἐστὶ μέρος, ἐνταῦθα δὲ τὰ δʹ καὶ τὰ βʹ τῶν ἄκρων ἑκάτερον ἑκατέρου· ὅθεν ὑπεναντία κέκληται. Ταύτην δ´ ἁρμονικὴν ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῖς ὅροις τὰ πρῶτα σύμφωνα παρέχεται, τῷ μὲν μεγίστῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ πασῶν, τῷ δὲ μεγίστῳ πρὸς τὸν μέσον τὸ διὰ πέντε, τῷ δὲ μέσῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων· ὅτι τοῦ μεγίστου τῶν ὅρων κατὰ νήτην τιθεμένου τοῦ δ´ ἐλαχίστου καθ´ ὑπάτην, ὁ (1019e) μέσος γίγνεται {ὁ} κατὰ μέσην πρὸς μὲν τὸν μέγιστον τὸ διὰ πέντε ποιοῦσαν πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων· ὥστε γίγνεσθαι τὰ ὀκτὼ κατὰ τὴν μέσην τὰ δὲ δώδεκα κατὰ νήτην τὰ δ´ ἓξ καθ´ ὑπάτην. Τὸν δὲ τρόπον, ᾧ λαμβάνουσι τὰς εἰρημένας μεσότητας, ἁπλῶς καὶ σαφῶς Εὔδωρος ἀποδείκνυσι. Σκόπει δὲ πρότερον ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς· ἂν γὰρ ἐκθεὶς τοὺς ἄκρους λάβῃς ἑκατέρου τὸ ἥμισυ μέρος καὶ συνθῇς, ὁ συντεθεὶς ἔσται μέσος ἔν τε τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίοις ὁμοίως. Ἐπὶ δὲ τῆς ὑπεναντίας, ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις ἂν τοὺς ἄκρους ἐκθεὶς τοῦ μὲν ἐλάττονος τὸ (1019f) τρίτον τοῦ δὲ μείζονος τὸ ἥμισυ λάβῃς, ὁ συντεθεὶς γίγνεται μέσος· ἐν δὲ τοῖς τριπλασίοις ἀνάπαλιν, τοῦ μὲν ἐλάττονος ἥμισυ δεῖ λαβεῖν τοῦ δὲ μείζονος τρίτον· ὁ γὰρ συντεθεὶς οὕτω γίγνεται μέσος. Ἔστω γὰρ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τὰ Ϛʹ ἐλάχιστος ὅρος τὰ δὲ ιηʹ μέγιστος· ἂν οὖν τῶν Ϛʹ τὸ ἥμισυ λαβὼν τὰ τρία καὶ τῶν ὀκτὼ καὶ δέκα τὸ τρίτον τὰ Ϛʹ συνθῇς, ἕξεις τὸν ἐννέα ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχοντα καὶ ὑπερεχόμενον. Οὕτω μὲν αἱ μεσότητες λαμβάνονται.

[1019] (1019a) D'un autre côté, la série des nombres impairs donne 40, produit de 13 et de 27 (23), et c'est par ces deux nombres que les mathématiciens mesurent précisément les intervalles des sons qu'ils appellent l'un le dièse, et l'autre le ton. Ce nombre 40 est encore le produit de la multiplication du quaternaire ; car si vous prenez quatre fois chacun des quatre premiers nombres, vous aurez 4, 8, 12 et 16, dont la somme totale est 40, nombre qui contient encore toutes les proportions des consonnances musicales ; car de 16 à 12, c'est la proportion sesqui-tierce, de 16 à 8 c'est la proportion double, de 16 à 4 elle est quadruple, (1019b) de 12 à 8, sesqui-altère, et triple de 12 à 4, ces proportions donnent les accords de la quarte, de la quinte, de l'octave et de la double octave. De plus, le nombre 40 est égal aux deux premiers carrés 1 et 4, et aux deux premiers cubes 8 et 27, dont la somme totale est 40. Ainsi le quaternaire de Platon est, dans sa disposition, plus varié et plus parfait que celui de Pythagore. Mais comme dans les nombres proposés il n'y a point de place pour les médiétetés que Platon a introduites, il a été nécessaire (1019c) de prendre des termes plus étendus, en conservant les mêmes proportions ; il faut les faire connaître et traiter premièrement les médiétetés. La première est celle où le nombre moyen surpasse le premier extrême, et est surpassé par l'autre de la même quantité ; on l'appelle médiéteté arithmétique. Celle où le moyen surpasse un des extrêmes et est surpassé par l'autre dans la même proportion, se nomme sous-contraire. Les termes de la médiéteté arithmétique sont 6, 9 et 12, dans laquelle 9 surpasse 6 de la même quantité qu'il est lui-même surpassé par 12; les termes de la sous-contraire sont 6, 8 et 12, où 8 surpasse 6 de 2 et est moindre que 12 de 4. Or, 2 est le tiers de 6, comme 4 est le tiers de 12. Ainsi, dans la médiéteté arithmétique, le (1019d) terme moyen excède un des extrêmes, et est surpassé par l'autre de la même quantité. Dans la sous-contraire, il surpasse un des extrêmes, et est surpassé par l'autre d'une même portion des extrêmes. Car dans la première de celles que nous avons données, 3 est le tiers du terme moyen, et dans la dernière 2 et 4 sont les tiers des deux extrêmes, c'est pourquoi on l'appelle sous-contraire. On la nomme aussi harmonique, parce qu'elle renferme dans ses termes les premières consonnances : du plus grand extrême au plus petit, c'est le diapason (ou l'octave) ; du plus grand extrême au moyen, la quinte; du moyen au plus petit extrême, la quarte. Ainsi le plus grand des extrêmes étant placé sur la nète, et le plus petit sur l'hypate, le (1019e) moyen sera sur la mèse, laquelle, avec le plus grand extrême, fera la quinte, et avec le plus petit, la quarte ; en sorte que 8 répond à la mèse, 12 à la nète, et 6 à l'hypate. Eudorus a imaginé une méthode simple et claire de trouver ces médiétetés. Voyons d'abord pour l'arithmétique. Après avoir posé les extrêmes, prenez la moitié de chacun et ajoutez ensemble ces deux moitiés ; le résultat donnera le terme moyen dans les proportions doubles comme dans les triples. Pour la sous-contraire, dans les proportions doubles, après avoir posé les extrêmes, prenez le tiers (1019f) du plus petit terme et la moitié du plus grand, le produit sera le terme moyen. Dans les proportions triples, au contraire, il faut prendre la moitié du plus petit des extrêmes et le tiers du plus grand. Par exemple, soit, dans une proportion triple, 6 le plus petit des extrêmes, et 12 le plus grand. Prenez la moitié de 6, qui est 5, et le tiers de 18, qui est 6, et joignez ces deux nombres; vous aurez 9, qui surpasse l'un des extrêmes et est surpassé par l'autre dans la même proportion. Voilà comment se trouvent les médiétetés.