[1018] Ἔστω τὸ α β γ δ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἔχον τῶν πλευρῶν τὴν α β πέντε, τὴν δὲ α δ ἑπτά· καὶ τμηθείσης τῆς μὲν ἐλάττονος εἰς δύο καὶ τρία κατὰ τὸ κ, τῆς δὲ μείζονος εἰς τρία καὶ τέτταρα κατὰ τὸ λ, διήχθωσαν ἀπὸ τῶν τομῶν εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ κ μ ν καὶ κατὰ τὸ λ μ ξ, καὶ ποιοῦσαι τὸ μὲν α κ μ λ ἕξ, τὸ δὲ κ β ξ μ ἐννέα, τὸ δὲ λ μ ν δ ὀκτώ, τὸ δὲ μ ξ γ ν δώδεκα· τὸ δ´ ὅλον παραλληλόγραμμον τριάκοντα καὶ πέντε τοὺς τῶν συμφωνιῶν τῶν πρώτων λόγους ἐν τοῖς τῶν χωρίων (1018b) ἀριθμοῖς, εἰς ἃ διῄρηται, περιέχον. Τὰ μὲν γὰρ ἓξ καὶ ὀκτὼ τὸν ἐπίτριτον ἔχει λόγον, ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων· τὰ δ´ ἓξ καὶ ἐννέα τὸν ἡμιόλιον, ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε· τὰ δ´ ἓξ καὶ ιβʹ τὸν διπλάσιον, ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν· ἔνεστι δὲ καὶ ὁ τοῦ τόνου λόγος ἐπόγδοος ὢν ἐν τοῖς ἐννέα καὶ ὀκτώ. Διὰ τοῦτο καὶ ἁρμονίαν τὸν περιέχοντα τοὺς λόγους τούτους ἀριθμὸν ἐκάλεσαν. Ἑξάκις δὲ γενόμενος τὸν τῶν δέκα ποιεῖ καὶ διακοσίων ἀριθμόν, ἐν ὅσαις ἡμέραις λέγεται τὰ ἑπτάμηνα τῶν βρεφῶν τελεογονεῖσθαι. (1018c) Πάλιν δ´ ἀφ´ ἑτέρας ἀρχῆς, κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὁ μὲν δὶς γʹ τὸν Ϛʹ ποιεῖ, ὁ δὲ τετράκις ἐννέα τὸν τριακονταέξ, ὁ δ´ ὀκτάκις κζʹ τὸν σιϚʹ. Καὶ ἔστιν ὁ μὲν Ϛʹ τέλειος, ἴσος ὢν τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσι· καὶ γάμος καλεῖται διὰ τὴν τοῦ ἀρτίου καὶ περιττοῦ σύμμιξιν· ἔτι δὲ συνέστηκεν ἔκ τε τῆς ἀρχῆς καὶ τοῦ πρώτου ἀρτίου καὶ τοῦ πρώτου περιττοῦ. Ὁ δὲ λϚʹ πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ τρίγωνος, τετράγωνος μὲν ἀπὸ τῆς ἑξάδος τρίγωνος δ´ ἀπὸ τῆς ὀγδοάδος· καὶ γέγονε πολλαπλασιασμῷ μὲν τετραγώνων δυεῖν, τοῦ τέσσαρα τὸν ἐννέα πολλαπλασιάσαντος, συνθέσει δὲ τριῶν κύβων, τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ εἰκοσιεπτὰ συντεθέντα ποιεῖ τὸν προγεγραμμένον ἀριθμόν. (1018d) Ἔτι δ´ ἑτερομήκης ἀπὸ δυεῖν πλευρῶν, τῶν μὲν δώδεκα τρὶς γινομένων τῶν δ´ ἐννέα τετράκις. Ἂν οὖν ἐκτεθῶσιν αἱ τῶν σχημάτων πλευραί, τοῦ τετραγώνου τὰ Ϛʹ καὶ τοῦ τριγώνου τὰ ὀκτὼ καὶ παραλληλογράμμων τοῦ μὲν ἑτέρου τὰ ἐννέα τοῦ δ´ ἑτέρου τὰ ιβʹ, τοὺς τῶν συμφωνιῶν ποιήσουσι λόγους. Ἔσται γὰρ τὰ δώδεκα πρὸς μὲν τὰ ἐννέα διὰ τεσσάρων ὡς νήτη πρὸς παραμέσην, πρὸς δὲ τὰ ὀκτὼ διὰ πέντε ὡς νήτη πρὸς μέσην, πρὸς δὲ τὰ Ϛʹ διὰ πασῶν ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην. Ὁ δὲ τῶν σιϚʹ κύβος ἐστὶν ἀπὸ ἑξάδος ἴσος τῇ ἑαυτοῦ περιμέτρῳ. Τοιαύτας δὲ δυνάμεις τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν ἐχόντων, ἴδιον τῷ τελευταίῳ συμβέβηκε, τῷ κζʹ, τὸ τοῖς (1018e) πρὸ αὐτοῦ συντιθεμένοις ἴσον εἶναι πᾶσιν, ἔστι δὲ καὶ περιοδικὸς σελήνης. Καὶ τῶν ἐμμελῶν διαστημάτων οἱ Πυθαγορικοὶ τὸν τόνον ἐν τούτῳ τῷ ἀριθμῷ τάττουσι· διὸ καὶ τὰ τρισκαίδεκα λεῖμμα καλοῦσιν, ἀπολείπει γὰρ μονάδι τοῦ ἡμίσεος. Ὅτι δ´ οὗτοι καὶ τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους περιέχουσι, ῥᾴδιον καταμαθεῖν. Καὶ γὰρ διπλάσιος λόγος ἐστὶν ὁ τῶν δύο πρὸς τὸ ἓν ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν, καὶ ἡμιόλιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν τριῶν ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε, καὶ ἐπίτριτος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν τεσσάρων ἐν ᾧ τὸ διὰ (1018f) τεσσάρων, καὶ τριπλάσιος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ τετραπλάσιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν ὀκτὼ ἐν ᾧ τὸ δὶς διὰ πασῶν· ἔνεστι δὲ καὶ ἐπόγδοος ὁ πρὸς τὰ ὀκτὼ τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ τονιαῖον. Ἂν τοίνυν ἡ μονὰς ἐπίκοινος οὖσα καὶ τοῖς ἀρτίοις συναριθμῆται καὶ τοῖς περιττοῖς, ὁ μὲν ἅπας ἀριθμὸς τὸ τῆς δεκάδος παρέχεται πλῆθος· οἱ γὰρ ἀπὸ μονάδος μέχρι τῶν δέκα συντιθέμενοι .... πεντεκαίδεκα, τρίγωνον ἀπὸ πεντάδος·

[1018] Soit donc un parallélogramme rectangle, désigné par A, B, G, D, dont le côté AB comprenne cinq carrés, et le côté AD sept. Le côté plus petit AB soit divisé en deux parties inégales en K, l'une de deux carrés et l'autre de trois. Le côté plus long AD soit aussi coupé en deux sections inégales au point L, l'une de trois carrés et l'autre de quatre ; que des points d'intersection on tire des lignes droites qui se coupent réciproquement dans la direction des points K, M, N et des points L, M, O. L'espace compris entre A, K, M, L contiendra six carrés, et celui compris entre K, M, B, O en aura neuf. L, M, N D en contiendra huit, et M, O, C, N en renfermera douze. Cela deviendra plus sensible par une figure. Tout le parallélogramme divisé en 35 carrés contient dans le nombre de ses aires (1018b) les proportions des premières consommées musicales ; car de 6 à 8 on a la proportion épitrite (ou sesqui-tierce), qui est l'accord de la quarte. De 6 à 9 c'est la proportion sesqui-altère (ou la quinte). 6 et 12 donnent la proportion double, qui est le diapason (ou l'octave) s'y trouve aussi : c'est celle de 8 à 9. Voilà pourquoi ils ont appelé harmonie ce nombre de 35, qui contient toutes les proportions. Ce même nombre, multiplié par 6, donne 210, qui est le nombre des jours dans lesquels les enfants qui naissent à sept mois ont acquis, dit-on, toute leur perfection. (1018c) Si on procède par une autre espèce de multiplication, 2 fois 3 donnent 6, 4 fois 9 36, et 8 fois 27 216, Le nombre 6 est donc un nombre parfait, parce qu'il est égal à ses parties, et on lui donne le nom de mariage, comme formé du premier pair et du premier impair. D'ailleurs il est composé du principe de tous les nombres, qui est l'unité du premier pair et du premier impair, 2 et 3. 36 est le premier nombre qui soit à la fois un carré et un triangle : le carré de 6, et le triangle de 8. Il est encore le produit des deux premiers carrés, 4 et 9, multipliés l'un par l'autre, et de la réunion des trois premiers cubes, 1, 8, 27, qui, pris ensemble, donnent pour total 36. Enfin il forme deux parallélogrammes inégaux, l'un de trois fois 12, et l'autre de quatre fois 9. (1018d) Maintenant, si on prend les nombres des côtés de ces différentes figures, le 6 du carré, le 8 du triangle, le 9 d'un des parallélogrammes, et le 12 de l'autre, on aura les proportions de toutes les consonnances : celle de la quarte est exprimée par le rapport de 12 à 9 ; c'est celui de la nète à la mèse. La quinte est dans le rapport de 12 à 8, comme de la mèse à l'hypate. 216 est le cube de 6, et il est égal à son périmètre. Ces nombres donc ayant toutes ces propriétés, le dernier, qui est 27, a cela de particulier (1018e) qu'il est égal à tous les autres pris ensemble. D'ailleurs, c'est le nombre des jours dans lesquels la lune achève son mois périodique. C'est encore à ce nombre qu'entre les intervalles harmoniques les pythagoriciens attachent le ton ; et c'est pourquoi ils appellent le nombre 13 limma (c'est-à-dire reste), parce qu'il s'en faut d'une unité qu'il ne soit la moitié de 27. Il est aisé de voir aussi que ces nombres contiennent les proportions des consonnances musicales. Car de 2 à 1 la proportion est double, c'est le diapason (ou l'octave) ; de 3 à 2, c'est la proportion sesqui-altère (ou la quinte). De 4 à 3 la proportion est sesqui-tierce, (1018f) et c'est la quarte ; de 9 à 3, la proportion est triple, et c'est l'octave avec la quinte ; elle est quatruple de 8 à 2, et c'est la double octave ; de 8 à 9 la proportion est sesqui-octave, et c'est celle du ton. Maintenant si on prend l'unité, qui est commune à tous les nombres pairs et impairs, toute la suite des nombres procédera par dizaines; car les quatre premiers nombres pris ensemble font 10, et les quatre premiers nombres pairs 1, 2, 4, 8 font 15, premier nombre triangulaire formé de cinq.