[1021] ὁ δὲ τόνος τὸν (1021a) ἐπόγδοον. Ἔξεστι δὲ καὶ νῦν βασανίσαι τὸ ἀληθές, ἢ βάρη δυεῖν ἄνισα χορδῶν ἐξαρτήσαντας ἢ δυεῖν ἰσοκοίλων αὐλῶν τὸν ἕτερον μήκει διπλάσιον τοῦ ἑτέρου ποιήσαντας· τῶν μὲν γὰρ αὐλῶν ὁ μείζων βαρύτερον φθέγξεται ὡς ὑπάτη πρὸς νήτην, τῶν δὲ χορδῶν ἡ τῷ διπλασίῳ κατατεινομένη βάρει τῆς ἑτέρας ὀξύτερον ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην· τοῦτο δ´ ἐστὶ τὸ διὰ πασῶν. Ὁμοίως δὲ καὶ τρία πρὸς δύο ληφθέντα μήκη καὶ βάρη τὸ διὰ πέντε ποιήσει καὶ τέσσαρα πρὸς τρία τὸ διὰ τεσσάρων, ὧν τοῦτο μὲν ἐπίτριτον ἔχει λόγον ἐκεῖνο δ´ ἡμιόλιον. Ἐὰν δ´ ὡς ἐννέα (1021b) πρὸς ὀκτὼ γένηται τῶν βαρῶν ἢ τῶν μηκῶν ἡ ἀνισότης, ποιήσει διάστημα τονιαῖον, οὐ σύμφωνον ἀλλ´ ἐμμελὲς ὡς εἰπεῖν ἔμβραχυ, τῷ τοὺς φθόγγους, ἂν ἀνὰ μέρος κρουσθῶσι, παρέχειν ἡδὺ φωνοῦντας καὶ προσηνές, ἂν δ´ ὁμοῦ, τραχὺ καὶ λυπηρόν· ἐν δὲ ταῖς συμφωνίαις κἂν ὁμοῦ κρούωνται κἂν ἐναλλάξ, ἡδέως προσίεται τὴν συνήχησιν ἡ αἴσθησις. Οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ διὰ λόγου τοῦτο δεικνύουσιν. Ἐν μὲν γὰρ ἁρμονίᾳ τὸ διὰ πασῶν ἔκ τε τοῦ διὰ πέντε σύγκειται καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων, ἐν δ´ ἀριθμοῖς τὸ διπλάσιον ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου· τὰ γὰρ δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐστὶν ἐπίτριτα τῶν δ´ ὀκτὼ (1021c) ἡμιόλια τῶν δὲ Ϛʹ διπλάσια. Σύνθετος οὖν ὁ τοῦ διπλασίου λόγος ἐστὶν ἐκ τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου, καθάπερ ὁ τοῦ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων. Ἀλλὰ κἀκεῖ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων τόνῳ κἀνταῦθα τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ μεῖζόν ἐστι. Φαίνεται τοίνυν, ὅτι τὸ διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει καὶ τὸ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον καὶ ὁ τόνος τὸν ἐπόγδοον. Ἀποδεδειγμένου δὲ τούτου, σκοπῶμεν εἰ δίχα τέμνεσθαι πέφυκε τὸ ἐπόγδοον· εἰ γὰρ μὴ πέφυκεν, οὐδ´ ὁ τόνος. Ἐπεὶ δὲ πρῶτοι τὸν ἐπόγδοον λόγον ὁ θʹ καὶ ὁ ηʹ (1021d) ποιοῦντες οὐδὲν διάστημα μέσον ἔχουσι, διπλασιασθέντων δ´ ἀμφοτέρων ὁ παρεμπίπτων μεταξὺ δύο ποιεῖ διαστήματα, δῆλον ὅτι τούτων μὲν ἴσων ὄντων δίχα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον. Ἀλλὰ μὴν διπλάσια γίγνεται τῶν μὲν θʹ τὰ ιηʹ τῶν δ´ ηʹ τὰ ιϚʹ, δέχονται δ´ οὗτοι μεταξὺ τὰ ιζʹ καὶ γίγνεται τῶν διαστημάτων τὸ μὲν μεῖζον τὸ δ´ ἔλαττον· ἔστι γὰρ τὸ μὲν πρότερον ἐφεπτακαιδέκατον τὸ δὲ δεύτερον ἐφεξκαιδέκατον. Εἰς ἄνισα τοίνυν τέμνεται τὸ ἐπόγδοον· εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ὁ τόνος. Οὐδέτερον ἄρα γίγνεται διαιρεθέντος αὐτοῦ τῶν τμημάτων ἡμιτόνιον, ἀλλ´ ὀρθῶς ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν λεῖμμα προσηγόρευται. (1021e) Καὶ τοῦτ´ ἐστὶν ὅ φησιν ὁ Πλάτων τὰ ἐπίτριτα τοῖς ἐπογδόοις συμπληροῦντα τὸν θεὸν λείπειν ἑκάστου μόριον αὐτῶν, οὗ λόγος ἐστίν, ὃν ἔχει τὰ Ϛʹ καὶ νʹ καὶ ςʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ μʹ καὶ ςʹ. Εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀριθμοῖς δυσὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον περιέχουσι, τοῖς σνϚʹ καὶ τοῖς ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο· ὧν ὁ μὲν ἐλάττων, τὰ ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο, κείσθω κατὰ τὸν βαρύτατον τοῦ τετραχόρδου φθόγγον, ὁ δὲ μείζων, τὰ σνϚʹ, κατὰ τὸν ὀξύτατον· ἀποδεικτέον ὅτι, τούτου συμπληρουμένου δυσὶν ἐπογδόοις, λείπεται διάστημα τηλικοῦτον, ἡλίκον ὡς ἐν ἀριθμοῖς τὰ Ϛʹ καὶ νʹ καὶ ςʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ μʹ (1021f) καὶ ςʹ. Τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνον ἐπιταθέντος, ὅπερ ἐστὶν ἐπόγδοον, γίγνεται σιϚʹ· τούτου πάλιν τόνον ἄλλον ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʹ· ταῦτα μὲν γὰρ ὑπερέχει τῶν σιϚʹ τοῖς κζʹ, τὰ δὲ σιϚʹ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τοῖς εἴκοσι καὶ τέσσαρσιν· ὧν τὰ μὲν κζʹ τῶν σιϚʹ {ἐπ}ὄγδοά ἐστι, τὰ δὲ κδʹ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο. Διὸ γίγνεται τῶν τριῶν τούτων ἀριθμῶν ὅ τε μέγιστος ἐπόγδοος τοῦ μέσου καὶ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου· τὸ δ´ ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου διάστημα μέχρι τοῦ μεγίστου, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο μέχρι τῶν σμγʹ,

[1021] et le ton en proportion (1021a) sesqui-octave. On peut s'en assurer en suspendant à deux cordes égales deux poids inégaux en proportion double, ou en faisant deux flûtes d'égale grosseur, mais dont l'une soit double de l'autre en longueur. La plus longue donnera un son plus grave, qui sera dans le rapport de l'hypate à la nète ; et des deux cordes, celle qui sera tendue par le poids double, donnera un son beaucoup plus aigu, dans le rapport de la nète à l'hypate; et c'est l'accord de l'octave. De même trois poids ou trois longueurs comparés avec deux donneront la quinte, et quatre avec trois donneront la quarte ; l'une est dans la proportion sesqui-tierce, et l'autre dans la proportion sesqui-altère. Si l'inégalité des poids et des longueurs est comme de 9 (1021b) à 8, elle donnera le ton, qui n'est pas précisément un accord, mais qui est assez propre à l'harmonie. Car si on touche les tons l'un après l'autre, ils forment un chant doux et agréable ; mais si on les faisait entendre tous à la fois, le résultat en serait dur et offenserait l'oreille. Pour les consonnances, qu'on les entende toutes à la fois ou l'une après l'autre, notre organe éprouve toujours de leur accord une sensation agréable. D'ailleurs cela se démontre par le raisonnement. Dans l'harmonie, l'octave est formée de la quinte et de la quarte, et dans les nombres la proportion double est composée de la sesqui-altère et de la sesqui-tierce ; car 12 est en proportion sesqui-tierce de 9, en proportion sesqui-altère de 8, (1021c) et on proportion double de 6. Ainsi la proportion double est composée des proportions sesqui-altère et sesqui-tierce, comme l'octave est composée de la quarte et de la quinte. Mais comme ici la quinte a un ton de plus que la quarte, de même dans les nombres la proportion sesqui-altère surpasse la sesqui-tierce de la sesqui-octave. Il est évident d'après cela que l'octave est en proportion double, la quinte en proportion sesqui-altère, la quarte en sesqui-tierce, et le ton en sesqui-octave. Cela étant démontré, voyons maintenant si la proportion sesqui-octave peut être divisée en deux portions égales. Si elle ne peut l'être, le ton ne le pourra pas être non plus. 9 et 8 (1021d) sont les nombres qui forment la première proportion sesqui-octave, et ils ne laissent pas d'intervalle entre eux. Si on les double l'un et l'autre, le nombre qui se trouve entre les deux forme deux intervalles ; et si ces deux intervalles sont égaux, il est clair que la proportion sesqui-octave peut se diviser en deux parties égales. Or, le double de 9 est 18, et le double de 8 est 16, entre lesquels se trouve 17. Il y a donc un des deux intervalles qui est plus petit et l'autre plus grand; car le premier est de 18 à 17, et le second de 17 à 16. La proportion sesqui-octave se divise donc en sections inégales, et par conséquent le ton aussi. Ainsi la division étant faite, aucune des sections n'est proprement le demi-ton, et c'est avec raison que les mathématiciens ont appelé l'une limma (défaut). (1021e) C'est pour cela que Platon dit que Dieu remplissant les intervalles sesqui-tierces par les sesqui-octaves, laissa une partie de chacun d'eux, et la proportion de cette partie est de 236 à 245. Que l'on prenne une quarte en deux nombres qui soient entre eux dans une proportion sesqui-tierce comme 256 et 192, dont le moindre 192 soit placé sur la note la plus basse du tétracorde, et le plus grand 256 sur la plus haute, il faudra démontrer que cet espace étant rempli par deux sesqui-octaves, il reste un intervalle aussi grand qu'entre les deux nombres 256 et 243. (1021f) Car la note basse étant tendue d'un ton, ce qui fait la sesqui-octave, on a 217 ; et si on l'augmente encore d'un ton, on a 243, qui surpasse 216 de 27, comme 216 excède 192 de 24. Or, 27 est le sesqui- octave de 243, et 24 l'est de 216. Ainsi de ces trois nombres le plus grand est sesqui-octave du moyen, comme celui-ci l'est du plus petit, et la distance du plus petit au plus grand, c'est-à-dire de 192 à 213,