[83] σὺ δέ μοι λέγε: ἀπὸ τῆς διπλασίας γραμμῆς φῂς τὸ (83a) διπλάσιον χωρίον γίγνεσθαι; τοιόνδε λέγω, μὴ ταύτῃ μὲν μακρόν, τῇ δὲ βραχύ, ἀλλὰ ἴσον πανταχῇ ἔστω ὥσπερ τουτί, διπλάσιον δὲ τούτου, ὀκτώπουν: ἀλλ' ὅρα εἰ ἔτι σοι ἀπὸ τῆς διπλασίας δοκεῖ ἔσεσθαι. (Παῖς) ἔμοιγε. (Σωκράτης) οὐκοῦν διπλασία αὕτη ταύτης γίγνεται, ἂν ἑτέραν τοσαύτην προσθῶμεν ἐνθένδε; (Παῖς) πάνυ γε. (Σωκράτης) ἀπὸ ταύτης δή, φῄς, ἔσται τὸ ὀκτώπουν χωρίον, ἂν τέτταρες τοσαῦται (83b) γένωνται; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) ἀναγραψώμεθα δὴ ἀπ' αὐτῆς ἴσας τέτταρας. ἄλλο τι ἢ τουτὶ ἂν εἴη ὃ φῂς τὸ ὀκτώπουν εἶναι; (Παῖς) πάνυ γε. (Σωκράτης) οὐκοῦν ἐν αὐτῷ ἐστιν ταυτὶ τέτταρα, ὧν ἕκαστον ἴσον τούτῳ ἐστὶν τῷ τετράποδι; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) πόσον οὖν γίγνεται; οὐ τετράκις τοσοῦτον; (Παῖς) πῶς δ' οὔ; (Σωκράτης) διπλάσιον οὖν ἐστιν τὸ τετράκις τοσοῦτον; (Παῖς) οὐ μὰ Δία. (Σωκράτης) ἀλλὰ ποσαπλάσιον; (Παῖς) τετραπλάσιον. (Σωκράτης) ἀπὸ τῆς διπλασίας (83c) ἄρα, ὦ παῖ, οὐ διπλάσιον ἀλλὰ τετραπλάσιον γίγνεται χωρίον. (Παῖς) ἀληθῆ λέγεις. (Σωκράτης) τεττάρων γὰρ τετράκις ἐστὶν ἑκκαίδεκα. οὐχί; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) ὀκτώπουν δ' ἀπὸ ποίας γραμμῆς; οὐχὶ ἀπὸ μὲν ταύτης τετραπλάσιον; (Παῖς) φημί. (Σωκράτης) τετράπουν δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισέας ταυτησὶ τουτί; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) εἶεν: τὸ δὲ ὀκτώπουν οὐ τοῦδε μὲν διπλάσιόν ἐστιν, τούτου δὲ ἥμισυ; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) οὐκ ἀπὸ μὲν μείζονος ἔσται ἢ τοσαύτης γραμμῆς, ἀπὸ ἐλάττονος δὲ ἢ (83d) τοσησδί; ἢ οὔ; (Παῖς) ἔμοιγε δοκεῖ οὕτω. (Σωκράτης) καλῶς: τὸ γάρ σοι δοκοῦν τοῦτο ἀποκρίνου. καί μοι λέγε: οὐχ ἥδε μὲν δυοῖν ποδοῖν ἦν, ἡ δὲ τεττάρων; (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) δεῖ ἄρα τὴν τοῦ ὀκτώποδος χωρίου γραμμὴν μείζω μὲν εἶναι τῆσδε τῆς δίποδος, ἐλάττω δὲ τῆς τετράποδος. (Παῖς) δεῖ. (83e) (Σωκράτης) πειρῶ δὴ λέγειν πηλίκην τινὰ φῂς αὐτὴν εἶναι. (Παῖς) τρίποδα. (Σωκράτης) οὐκοῦν ἄνπερ τρίπους ᾖ, τὸ ἥμισυ ταύτης προσληψόμεθα καὶ ἔσται τρίπους; δύο μὲν γὰρ οἵδε, ὁ δὲ εἷς: καὶ ἐνθένδε ὡσαύτως δύο μὲν οἵδε, ὁ δὲ εἷς: καὶ γίγνεται τοῦτο τὸ χωρίον ὃ φῄς. (Παῖς) ναί. (Σωκράτης) οὐκοῦν ἂν ᾖ τῇδε τριῶν καὶ τῇδε τριῶν, τὸ ὅλον χωρίον τριῶν τρὶς ποδῶν γίγνεται; (Παῖς) φαίνεται. (Σωκράτης) τρεῖς δὲ τρὶς πόσοι εἰσὶ πόδες; (Παῖς) ἐννέα. (Σωκράτης) ἔδει δὲ τὸ διπλάσιον πόσων εἶναι ποδῶν; (Παῖς) ὀκτώ. (Σωκράτης) οὐδ' ἄρ' ἀπὸ τῆς τρίποδός πω τὸ ὀκτώπουν χωρίον γίγνεται. (Παῖς) οὐ δῆτα. (Σωκράτης) ἀλλ' ἀπὸ ποίας; πειρῶ ἡμῖν εἰπεῖν ἀκριβῶς:

[83] Dis-moi, mon garçon, d'après toi, c'est en partant de la ligne double que se construit l'espace double ? (83a) Voici de quelle sorte est l'espace dont je parle : qu'il ne soit pas long dans ce sens, court dans cet autre, mais égal dans tous les sens, exactement comme celui-ci, double cependant de lui et d'une aire de huit pieds. Eh bien! vois si c'est encore ton avis qu'il doive se construire en partant de la ligne double. — LE SERVITEUR : C'est mon avis. — (SOCRATE): Or, supposé qu'à partir de ce point, nous prolongions cette ligne-ci par une ligne de même grandeur, il en résulte, n'est-ce pas, cette ligne-là, qui est le double de la première? — LE SERVITEUR : Oui. — (SOCRATE) : Alors, selon toi, c'est en partant de cette ligne, et quand il y en aura quatre de même grandeur, qu'existera l'espace de huit pieds? — LE SERVITEUR : Oui. (b) — (SOCRATE): Traçons donc quatre lignes égales, en partant de celle-là : ne serait-ce pas là l'espace que tu assures être un espace de huit pieds? — LE SERVITEUR : Hé! absolument. — (SOCRATE) : Mais est-ce que dans cet espace il n'y a pas les quatre espaces que voici, dont chacun est égal à celui que nous avons dit être de quatre pieds? — LE SERVITEUR : Oui. — (SOCRATE): Mais combien fait son aire? N'est-elle pas quatre fois aussi grande? — LE SERVITEUR : Comment ne le serait-elle pas? — (SOCRATE) : Et l'espace qui est quatre fois aussi grand est-il un espace double? — LE SERVITEUR : Non, par Zeus! — (SOCRATE): Mais, dis-moi, de combien de fois est-il plus grand? — LE SERVITEUR : Il est quatre fois plus grand. (c) (SOCRATE) : Alors, mon garçon, l'espace qui se construit en partant de la ligne double n'est pas un espace double, mais c'est un espace quadruple. — LE SERVITEUR : Tu dis vrai! — (SOCRATE) : Car quatre fois quatre font seize, n'est-ce pas? — LE SERVITEUR : Oui. — (SOCRATE): Or, quelle est la ligne en partant de laquelle se construit un espace de huit pieds? Ce n'est pas celle en partant de laquelle se construit un espace quadruple. — LE SERVITEUR : D'accord. — (SOCRATE): Mais un espace de quatre pieds n'est-il pas celui qui se construit en partant de la ligne qui est moitié de celle-ci? — LE SERVITEUR : Oui. — (SOCRATE): Eh bien! l'espace de huit pieds n'est-il pas double de celui de quatre, tandis qu'il est moitié de celui de seize? — LE SERVITEUR : Oui. (d) — (SOCRATE): Ne le trouverons-nous pas en partant d'une ligne plus grande que celle qui est de cette longueur-là, mais moins grande que celle qui est de cette longueur-ci? N'est-ce pas ton avis? — LE SERVITEUR : C'est bien aussi mon avis. (SOCRATE) : Parfait! réponds en effet ce qui est ton avis. En outre, dis-moi, cette ligne-ci n'était-elle pas de deux pieds et celle-là de quatre? — LE SERVITEUR : Oui. — (SOCRATE) : Il faut donc que la ligne de l'espace de huit pieds soit plus grande que celle-ci, qui est de deux pieds, mais plus petite que celle de quatre pieds. — LE SERVITEUR : Il le faut. (e) — (SOCRATE): Essaie donc de me dire quelle grandeur elle a d'après toi. — LE SERVITEUR : Elle a trois pieds. — (SOCRATE) : Or, si elle est exactement de trois pieds, alors, en prélevant la moitié de celle-ci, n'obtiendrons-nous pas une ligne de trois pieds? Car ici, c'est deux pieds que nous avons, là c'est un seul, et, en partant d'ici, c'est deux pieds ici et un pied là. Et voilà construit cet espace dont tu parles. — LE SERVITEUR : Oui. (SOCRATE): Or, s'il y a trois pieds dans ce sens et trois pieds dans cet autre, n'arrive-t-on pas, pour l'espace entier, à trois fois trois pieds? — LE SERVITEUR : Évidemment. — (SOCRATE): Et trois fois trois pieds, combien cela fait-il de pieds? — LE SERVITEUR : Neuf pieds. — (SOCRATE): Et de combien de pieds fallait-il que fût l'espace double? — LE SERVITEUR : De huit. (SOCRATE) : Ce n'est donc pas non plus encore en partant de la ligne de trois pieds que se construit l'espace de huit. — LE SERVITEUR : Certes non! — (SOCRATE): Eh bien! en partant de quelle ligne? Essaie de nous répondre avec exactitude.