[3,5] § 1. Ὅτι δ' οὔτε κύκλον οἷόν τε γενέσθαι τῆς ἴριδος οὔτε μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα, καὶ περὶ τῶν ἄλλων τῶν συμβαινόντων περὶ αὐτήν, ἐκ τοῦ διαγράμματος ἔσται θεωροῦσι δῆλον. § 2. Ἡμισφαιρίου γὰρ ὄντος ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος κύκλου τοῦ ἐφ' ᾧ τὸ Α, κέντρου δὲ τοῦ Κ, ἄλλου δέ τινος ἀνατέλλοντος σημείου ἐφ' ᾧ τὸ Η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ κατὰ κῶνον ἐκπίπτουσαι ποιῶσιν ὡσπερεὶ ἄξονα τὴν ἐφ' ᾗ ΗΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπιζευχθεῖσαι ἀνακλασθῶσιν ἀπὸ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπὶ τὸ Η ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν, πρὸς κύκλου περιφέρειαν προσπεσοῦνται αἱ ἀπὸ τοῦ Κ· § 3. καὶ ἐὰν μὲν ἐπ' ἀνατολῆς ἢ ἐπὶ δύσεως τοῦ ἄστρου ἡ ἀνάκλασις γένηται, ἡμικύκλιον ἀποληφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τὸ ὑπὲρ γῆν γιγνόμενον, ἐὰν δ' ἐπάνω, ἀεὶ ἔλαττον ἡμικυκλίου· ἐλάχιστον δέ, ὅταν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γένηται τὸ ἄστρον. § 4. Ἔστω γὰρ ἐπ' ἀνατολῆς πρῶτον, οὗ τὸ Η, καὶ ἀνακεκλάσθω ἡ ΚΜ ἐπὶ τὸ Η, καὶ τὸ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω ἐν ᾧ ἡ Α, τὸ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἐν ᾧ τὸ ΗΚΜ. Κύκλος οὖν ἡ τομὴ ἔσται τῆς σφαίρας ὁ μέγιστος. Ἔστω ὁ ἐφ' ᾧ Α· διοίσει γὰρ οὐδὲν ἂν ὁποιονοῦν τῶν ἐπὶ τῆς ΗΚ κατὰ τὸ τρίγωνον τὸ (376a) ΚΜΗ ἐκβληθῇ τὸ ἐπίπεδον. Αἱ οὖν ἀπὸ τῶν Η Κ ἀναγόμεναι γραμμαὶ ἐν τούτῳ τῷ λόγῳ οὐ συσταθήσονται τοῦ ἐφ' ᾧ Α ἡμικυκλίου πρὸς ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον· § 5. ἐπεὶ γὰρ τά τε Κ Η σημεῖα δέδοται καὶ ἡ ΗΚ, δεδομένη ἂν εἴη καὶ ἡ ΜΗ, ὥστε καὶ λόγος τῆς ΜΗ πρὸς ΜΚ. Δεδομένης οὖν περιφερείας ἐφάψεται τὸ Μ. Ἔστω δὴ αὕτη ἐφ' ἧς τὰ Ν Μ· ὥστε ἡ τομὴ τῶν περιφερειῶν δέδοται. Πρὸς ἄλλῃ δέ γε ἢ τῇ ΜΝ περιφερείᾳ ἀπὸ τῶν αὐτῶν σημείων ὁ αὐτὸς λόγος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὐ συνίσταται. § 6. Ἐκκείσθω οὖν τις γραμμὴ ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΜΚ ἡ Δ πρὸς Β. Μείζων δὲ ἡ ΜΗ τῆς ΚΜ, ἐπείπερ ἐπὶ τὴν μείζω γωνίαν ἡ ἀνάκλασις τοῦ κώνου· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζω γωνίαν ὑποτείνει τοῦ ΚΜΗ τριγώνου. Μείζων ἄρα καὶ ἡ Δ τῆς Β.) § 7. Προσπεπορίσθω οὖν πρὸς τὴν Β, ἐφ' ἧς τὸ Ζ· ὥστ' εἶναι ὅπερ τὴν Δ πρὸς τὴν Β, τὴν ΒΖ πρὸς τὴν Δ. εἶτα ὅπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν ΚΗ, ἡ τὸ Β πρὸς ἄλλην πεποιήσθω τὴν ΚΠ, καὶ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Μ ἐπεζεύχθω ἡ τὸ ΜΠ. § 8. Ἔσται οὖν τὸ Π πόλος τοῦ κύκλου, πρὸς ὃν αἱ ἀπὸ τοῦ Κ γραμμαὶ προσπίπτουσιν· ἔσται γὰρ ὅπερ ἡ Ζ πρὸς ΚΗ, καὶ ἡ Β πρὸς ΚΠ, καὶ ἡ Δ πρὸς ΠΜ. Μὴ γὰρ ἔστω, ἀλλ' ἢ πρὸς ἐλάττω ἢ πρὸς μείζω τῆς ΠΜ· οὐδὲν γὰρ διοίσει. § 9. Ἔστω πρὸς ΠΡ. Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον αἱ ΗΚ καὶ ΚΠ καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ἀλλήλας ἕξουσιν ὅνπερ αἱ Δ Β Ζ. Αἱ δὲ Δ Β Ζ ἀνὰ λόγον ἦσαν, ὅνπερ ἡ Δ πρὸς Β, ἡ ΖΒ πρὸς Δ· ὥστε ὅπερ ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΠΡ, ἡ τὸ ΠΡ πρὸς τὴν ΠΚ. § 10. Ἂν οὖν ἀπὸ τῶν Κ Η αἱ ΗΡ καὶ ΚΡ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευχθῶσιν, αἱ ἐπιζευχθεῖσαι αὗται τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον ὅνπερ ἡ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ· περὶ γὰρ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Π ἀνάλογον αἵ τε τοῦ ΗΠΡ τριγώνου καὶ τοῦ ΚΡΠ. Ὥστε καὶ ἡ ΠΡ πρὸς τὴν ΚΡ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ ἡ τὸ ΗΠ πρὸς τὴν ΠΡ. § 11. Ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΗ πρὸς ΚΜ τοῦτον τὸν λόγον· ὅνπερ γὰρ (376b) ἡ τὸ Δ πρὸς τὴν Β ἀμφότεραι. Ὥστε ἀπὸ τῶν Η Κ σημείων οὐ μόνον πρὸς τὴν ΜΝ περιφέρειαν συσταθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον, ἀλλὰ καὶ ἄλλοθι· ὅπερ ἀδύνατον. § 12. Ἐπεὶ οὖν ἡ Δ οὔτε πρὸς ἔλαττον τοῦ ΜΠ οὔτε πρὸς μείζω (ὁμοίως (376b.5) γὰρ δειχθήσεται), δῆλον ὅτι πρὸς αὐτὴν ἂν εἴη τὴν ἐφ' ᾗ Μ Π. Ὥστ' ἔσται ὅπερ ἡ ΜΠ πρὸς ΠΚ, ἡ ΠΗ πρὸς τὴν ΜΠ (καὶ λοιπὴ ἡ τὸ ΜΗ πρὸς ΜΚ). § 13. Ἐὰν οὖν τῷ ἐφ' ᾧ τὸ Π πόλῳ χρώμενος, διαστήματι δὲ τῷ ἐφ' ᾧ Μ Π, κύκλος γραφῇ, ἁπασῶν ἐφάψεται τῶν γωνιῶν ἃς ἀνακλώμεναι ποιοῦσιν αἱ ἀπὸ τοῦ ΜΑ κύκλου· εἰ δὲ μή, ὁμοίως δειχθήσονται τὸν αὐτὸν ἔχουσαι λόγον αἱ ἄλλοθι καὶ ἄλλοθι τοῦ ἡμικυκλίου συνιστάμεναι, ὅπερ ἦν ἀδύνατον. § 14. Ἐὰν οὖν περιαγάγῃς τὸ ἡμικύκλιον τὸ ἐφ' ᾧ τὸ Α περὶ τὴν ἐφ' ᾗ Η Κ Π διάμετρον, αἱ ἀπὸ τοῦ ΗΚ ἀνακλώμεναι πρὸς τὸ ἐφ' ᾧ τὸ Μ ἐν πᾶσι τοῖς ἐπιπέδοις ὁμοίως ἕξουσι, καὶ ἴσην ποιήσουσι γωνίαν τὴν ΚΜΗ· καὶ ἣν ποιήσουσι δὲ γωνίαν αἱ ΗΠ καὶ ΜΠ ἐπὶ τῆς ΗΠ, ἀεὶ ἴση ἔσται. § 15. Τρίγωνα οὖν ἐπὶ τῆς ΗΠ καὶ ΚΠ ἴσα τῷ ΗΜΠ ΚΜΠ συνεστήκασι. Τούτων δὲ αἱ κάθετοι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον πεσοῦνται τῆς ΗΠ καὶ ἴσαι ἔσονται. Πιπτέτωσαν ἐπὶ τὸ Ο. Κέντρον ἄρα τοῦ κύκλου τὸ Ο, ἡμικύκλιον δὲ τὸ περὶ τὴν ΜΝ ἀφῄρηται ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος· § 16. τῶν μὲν γὰρ ἄνω τὸν ἥλιον οὐ κρατεῖν, τῶν δὲ *προσπτεριζομένων* κρατεῖν, καὶ διαχεῖν τὸν ἀέρα· καὶ διὰ τοῦτο τὴν ἶριν οὐ συμβάλλειν τὸν κύκλον· γίγνεσθαι δὲ καὶ νύκτωρ ἀπὸ τῆς σελήνης ὀλιγάκις· οὔτε γὰρ ἀεὶ πλήρης, ἀσθενεστέρα τε τὴν φύσιν ὥστε κρατεῖν τοῦ ἀέρος· μάλιστα δ' ἵστασθαι τὴν ἶριν, ὅπου μάλιστα κρατεῖται ὁ ἥλιος· πλείστη γὰρ ἐν αὐτῇ ἰκμὰς ἐνέμεινεν. § 17. Πάλιν ἔστω ὁρίζων μὲν ἐφ' οὗ τὸ ΑΚΓ, ἐπανατεταλκέτω δὲ τὸ Η, ὁ δ' ἄξων ἔστω νῦν ἐφ' οὗ τὸ ΗΠ. Τὰ μὲν οὖν ἄλλα πάντα ὁμοίως δειχθήσεται ὡς καὶ πρότερον, ὁ δὲ πόλος τοῦ κύκλου ὁ ἐφ' ᾧ Π κάτω ἔσται τοῦ ὁρίζοντος τοῦ ἐφ' ᾧ τὸ ΑΓ, (377a) ἀρθέντος τοῦ ἐφ' ᾧ τὸ Η σημείου. § 18. Ἐπὶ δὲ τῆς αὐτῆς ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ὁρίζοντος νῦν τὴν ἀνατολήν· ἔστι γὰρ οὗτος ἐφ' ᾧ τὸ ΗΠ. § 19. Ἐπεὶ δὲ τῆς διαμέτρου τῆς ΑΓ τὸ ΚΗ ἐπάνω, τὸ κέντρον εἴη ἂν ὑποκάτω τοῦ ὁρίζοντος πρότερον τοῦ ἐφ' ᾧ τὸ ΑΓ, ἐπὶ τῆς ΚΠ γραμμῆς, ἐφ' οὗ τὸ Β. Ὥστ' ἔλαττον ἔσται τὸ ἐπάνω τμῆμα ἡμικυκλίου τὸ ἐφ' ᾧ Ψ Υ· τὸ γὰρ ΨΥΟ ἡμικύκλιον ἦν, νῦν δὲ ἀποτέτμηται ἀπὸ τοῦ ΑΓ ὁρίζοντος. Τὸ δὴ ΟΥ ἀφανὲς ἔσται αὐτοῦ, ἐπαρθέντος τοῦ ἡλίου· ἐλάχιστον δ', ὅταν ἐπὶ μεσημβρίας· ὅσον γὰρ ἀνώτερον τὸ Η, κατώτερον ὅ τε πόλος καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἔσται. § 20. Ὅτι δ' ἐν μὲν ταῖς ἐλάττοσιν ἡμέραις ταῖς μετ' ἰσημερίαν τὴν μετοπωρινὴν ἐνδέχεται ἀεὶ γίγνεσθαι ἶριν, ἐν δὲ ταῖς μακροτέραις ἡμέραις ταῖς ἀπὸ ἰσημερίας τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὴν ἰσημερίαν τὴν ἑτέραν περὶ μεσημβρίαν οὐ γίγνεται ἶρις, αἴτιον ὅτι τὰ μὲν πρὸς ἄρκτον τμήματα πάντα μείζω ἡμικυκλίου καὶ ἀεὶ ἐπὶ μείζω ἡμικυκλίου, τὸ δ' ἀφανὲς μικρόν, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν τμήματα τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ μὲν ἄνω τμῆμα μικρόν, τὸ δ' ὑπὸ γῆν μέγα, καὶ ἀεὶ δὴ μείζω τὰ πορρώτερα· § 21. ὥστ' ἐν μὲν ταῖς πρὸς θερινὰς τροπὰς ἡμέραις διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος, πρὶν ἐπὶ τὸ μέσον ἐλθεῖν τοῦ τμήματος καὶ ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τὴν τὸ Η, κάτω ἤδη τελέως γίγνεται ἡ τὸ Π, διὰ τὸ πόρρω ἀφεστάναι τῆς γῆς τὴν μεσημβρίαν διὰ τὸ μέγεθος τοῦ τμήματος. § 22. Ἐν δὲ ταῖς πρὸς τὰς χειμερινὰς τροπὰς ἡμέραις, διὰ τὸ μὴ πολὺ ὑπὲρ γῆς εἶναι τὰ τμήματα τῶν κύκλων, τοὐναντίον ἀναγκαῖον γίγνεσθαι· βραχὺ γὰρ ἀρθείσης τῆς ἐφ' ᾧ τὸ Η, ἐπὶ τῆς μεσημβρίας γίγνεται ὁ ἥλιος.

[3,5] CHAPITRE V. § 1. Que l'arc-en-ciel ne puisse pas être entièrement circulaire, que la section ne puisse pas aller au-delà de la demi-circonférence, et que toutes les conditions du phénomène soient bien telles que nous les avons dites, c'est ce dont on peut se convaincre sans peine en étudiant la figure ci-jointe. § 2. Un hémisphère au-dessus de l'horizon est représenté par A ; son centre est C ; et tel autre point s'élevant sur l'horizon est représenté par S. Si les lignes tombant de C, en forme de cône, font de la ligne SC une sorte d'axe, et que les lignes menées de C vers N se brisent à partir de la demi-circonférence vers S, c'est-à-dire sur le plus grand angle, les lignes menées de C formeront en tombant une circonférence de cercle. § 3. Et si la réfraction a lieu, soit au lever soit au coucher de l'astre, la partie qui est au-dessus de la terre sera une demi-circonférence de cercle coupé par l'horizon. Mais quand l'astre sera en ascension, la portion de cercle interceptée sera toujours moindre que la demi-circonférence elle sera la plus petite possible, lorsque l'astre est au méridien. § 4. Supposons d'abord que l'astre soit à son lever représenté par S. Supposons aussi que la ligne CN soit réfractée sur S, et que le plan représenté par A soit mené en passant par le triangle SCN. La section de la sphère sera donc un cercle. Prenons le plus grand possible, celui qui est représenté par A. Il n'y a en effet aucune différence à choisir des plans quelconques qui, de la ligne SC, peuvent être menés suivant le triangle (376a) CNS. Ainsi donc, les lignes menées des points SC ne pourront pas se rencontrer, dans ce rapport, sur tel ou tel autre point du demi-cercle représenté par A. § 5. En effet, puisque les points S et C sont donnés, la ligne SC le sera aussi, et la ligne NS le sera également, tout comme le rapport de NS à NC. Par conséquent, le point N touchera une périphérie donnée, que nous représentons par MN. Par suite, la section des périphéries sera donnée. Mais je dis que sur toute autre partie de la périphérie MN, le même rapport ne subsistera pas entre les mêmes points dans le même plan. § 6. Soit donc une ligne prise en dehors, DB, et que D soit coupé par rapport à B dans la proportion de NS à NC. NS est plus grand que NC, puisque la réfraction du cône se fait sur le plus grand angle ; et qu'en effet, NS sous-tend le plus grand angle du triangle NCS. Ainsi D est plus grand que B. § 7. Que l'on ajoute à B la ligne F, de telle sorte que BF soit à D ce que D est à B. Ensuite, supposons que B soit à une autre ligne, CP, comme F est à CS, et que de P à N soit menée la ligne PN. § 8. P sera donc le pôle du cercle sur lequel tombent les lignes menées de C. Ainsi, ce que F est à CS, B le sera à CP et D à PN. En effet on peut supposer aussi que cela n'est pas, et que le rapport a lieu avec une ligne plus petite ou plus grande que PN, parce qu'en effet il n'y aurait aucune différence. § 9. Que ce soit par exemple relativement à PR. Ainsi les lignes SC, CP et PR seront entr'elles dans le même rapport que FBD. Mais FBD étaient proportionnellement comme D est à B, comme FB est à D. Ainsi PR est à PC comme PS est à PR. § 10. Si donc des points CS, les lignes SR et CR sont jointes à R, les lignes jointes auront le même rapport que SP à PR. En effet, c'est à un même angle P que se rapportent proportionnellement les angles du triangle SPR et du triangle CRP. Ainsi, PR est à CR dans le même rapport que SP est à PR. § 11. De plus, NS est à NC dans le même rapport (376b) que D est à B. Ainsi, en partant des points SC, des lignes ayant le même rapport iront coïncider non seulement à la périphérie NM, mais encore sur tout autre point. Or c'est là ce qui est impossible. § 12. Puis donc que D ne peut se rapporter ni à une ligne plus petite que NP, ni à une ligne plus grande, car on le démontrerait de même, il faut nécessairement qu'il se rapporte à la ligne NP. Ainsi ce que NP est à PC, PS l'est à NP, et l'autre ligne NS l'est à NC. § 13. Si donc en prenant le pôle P, et la distance NP, on décrit un cercle, il touchera tous les angles que forment, en se brisant, les lignes menées du cercle NS. Si non, on démontrerait également que les lignes menées de l'un et l'autre côté du demi-cercle ont le même rapport ; ce qui a été démontré impossible. § 14. Si donc on trace le demi-cercle A autour du diamètre SCP, les lignes menées de SC et se réfractant vers N, seront également dans tous les plans et feront l'angle égal CNS ; et l'angle que feront les lignes SP et NP sur SP sera toujours égal. § 15. Ainsi, les triangles sur SP et CP sont égaux à SNP et CNP. Leurs perpendiculaires tomberont sur le même point de SP et seront égales. Qu'elles tombent en O, le centre du cercle sera donc O ; et le demi-cercle, c'est-à-dire NM, est enlevé de l'horizon. § 16. Car on sait que le soleil ne domine pas les parties supérieures de l'atmosphère et qu'il ne domine que les matières qui sont transportées près de la terre, et qu'il fait écouler l'air. C'est là ce qui est cause que l'arc-en-ciel n'est jamais un cercle complet. Il arrive aussi, mais rarement, qu'il se produit dans la nuit par l'effet de la lune. C'est qu'elle n'est pas toujours pleine, et naturellement elle est trop faible pour dominer l'air. L'arc-en-ciel se forme surtout là où le soleil domine le plus ; car là aussi il se forme dans l'arc-en-ciel le plus de gouttelettes. § 17. Soit donc encore l'horizon représenté par ABC. Que l'on élève S et que l'axe soit ici représenté par SP, on fera tout le reste de la démonstration, comme auparavant. Mais ce pôle du cercle, P, sera au-dessous de l'horizon AC, (377a) quand le point S s'y sera élevé. § 18. Or le pôle, le centre du cercle et celui du nouvel horizon qui termine le lever de l'astre, seront sur la même ligne ; car le cercle est représenté par SP. § 19. Mais comme CS est au-dessus du diamètre AC, le centre serait d'abord au- dessous de l'horizon AC, sur la ligne CP, et au point O. Ainsi la section supérieure du demi-cercle, représentée par XYZ, est plus petite ; car XYZ est un demi-cercle. Mais maintenant il est coupé par AC, l'horizon. YZ sera invisible, pour peu que le soleil lui-même s'élève vers le méridien. Plus S est élevé, plus le pôle est bas, ainsi que le centre du cercle. § 20. Si dans les jours plus courts qui viennent après l'équinoxe d'automne, il se peut que l'arc-en-ciel se produise toujours, et si dans les jours plus longs qui sont compris entre l'un et l'autre équinoxe, l'arc-en-ciel ne se produit jamais à midi, la cause en est que toutes les sections du côté de l'Ourse sont plus grandes que la demi-circonférence, et qu'elles deviennent toujours de plus en plus grandes, à mesure que la partie qu'on ne voit pas continue à se rapetisser. Mais les sections qui sont vers le méridien de l'équinoxe sont, l'une, la section supérieure, très petite, et l'autre, qui est au-dessous de la terre, fort grande. Et toujours à mesure que le soleil s'éloigne, les sections sont de plus en plus grandes. § 21. Par conséquent, dans les- jours qui avoisinent le solstice d'été, à cause de la grandeur des jours, avant que S n'arrive au milieu de la section et qu'il ne soit au méridien, P est déjà tout à fait en bas, parce que le méridien est fort loin de la terre, par suite de la grandeur de la section. § 22. Mais dans les jours qui avoisinent le solstice d'hiver, comme les sections des cercles ne sont pas très élevées au-dessus de la terre, il faut nécessairement que le phénomène se passe tout à l'inverse ; car il n' y a pas besoin alors que le point S soit fort élevé, pour que le soleil arrive au méridien.